根据我国相关法律法规的规定，公路局如果想要争夺您家所种植树木的管理权，需要提供充分的证据证明其对这块土地拥有所有权或使用权。如果您认为自己没有侵犯他人权利或者存在其他正当理由，可以向法院提起诉讼，要求公路局停止侵权行为，并赔偿您的经济损失。 此外，您也可以考虑聘请专业的律师帮助您处理这一问题，以确保自己的合法权益得到保护。同时，建议您与公路局进行沟通协商，寻求双方都能接受的解决方案，避免不必要的纠纷。