根据《中华人民共和国劳动法》的规定，用人单位与劳动者应当签订书面劳动合同，并在用工之日起一个月内订立书面劳动合同。如果公司未与员工签订正式的书面劳动合同，则存在未建立劳动关系的风险。因此，在本案中，即使员工没有请假就外出办私事导致发生交通事故并去世，公司也可能需要承担一定的赔偿责任。 具体而言，公司在事故发生时已经明确告知员工公司的作息时间和工作安排，但员工并没有按照约定的时间和方式离开，这可能构成违约行为。此外，公司也未能提供足够的安全保障措施，以防止此类意外事件的发生。因此，尽管事故的责任在于开车者，但公司作为雇主，也有一定的过错。 因此，在处理此类案件时，应综合考虑双方的过错程度以及事故的具体情况等因素，合理分配责任。建议您咨询专业的法律顾问或律师，以便得到更具体的法律意见。