可以请事假，单位不同意可以直接向当地的劳动局反映，并且不签订劳动合同是违法劳动法规定，可以向其索要从用工第二个月起的双倍工资，建议协商处理，或者向劳动局或者劳动仲裁委员会提起劳动仲裁建议您直接致电*******106，将有专职律师免费为您服务。