根据您提供的信息，您与原公司在山东东营签订的劳动合同已经到期，并且现在转到了辽宁省大连市。虽然新的劳动合同尚未开始，但如果您符合失业保险待遇领取条件，即连续缴纳失业保险满一年，那么您可以申请失业保险待遇。请注意，具体能否获得失业保险待遇需要根据当地的劳动法律法规和相关政策来确定。建议您及时联系当地的人力资源和社会保障部门或相关部门了解具体的政策规定。