在实习生期间生病并住院的情况中，公司要求其签署离职手续是不合理的。实习生通常不会被视为员工，因此没有签订劳动合同和履行其他雇用条件的义务。 根据劳动法的规定，实习生应当享有与正式员工同等的待遇，包括获得相应的社会保险福利，如医疗保险和工伤保险等。如果实习生因病住院，应按照法律规定享受相关的医疗保障服务，并且公司不得以此为理由要求其辞职。 实习生在实习期间有权利保护自己的权益，例如通过向人力资源部门或相关部门寻求帮助来解决实习中的任何争议。此外，实习生也可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益，以确保自身利益得到保障。