金融机构在未经授权的情况下私自登录客户的银行账户进行操作是不合法的。根据《中华人民共和国商业银行法》的规定，金融机构应当遵循“存款自愿、取款自由、为存款人保密”的原则。这意味着金融机构必须严格遵守法律法规，不得未经授权或擅自使用客户的信息和资金。 此外，如果金融机构通过非法手段获取了客户的个人信息或者交易记录，这些信息可能会被用于欺诈、洗钱或其他非法活动，这将构成严重的犯罪行为。因此，任何未经授权的金融操作都可能违反相关法律规定，并对金融机构和客户造成损失。