在中国，轻伤鉴定通常由公安机关指定的医疗机构进行，这些机构具备相应的鉴定资格。潢川县作为县级行政区，一般会有具备轻伤鉴定资格的医疗机构。轻伤鉴定的时间因案件具体情况和医疗机构的工作量而异，通常在受伤后尽快进行，以便准确评估伤情。 根据你的描述，如果对方在争吵中先动手，你家人的行为可能构成正当防卫。但正当防卫是否成立，需要依据具体情况和法律规定来判定。如果对方的伤害鉴定结果为轻伤，并且你家人的行为被认定为超出了正当防卫的范围，那么可能会面临相应的法律责任。 对于拘留15天的处罚，这可能是根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定作出的。如果对拘留决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。 建议你家人及时咨询专业律师，了解具体的法律权利和救济途径，以便更好地维护自己的合法权益。同时，收集和保留好相关证据，如医疗记录、目击者证言等，这些都可能对案件的处理有所帮助。