在执行过程中，如果申请人放弃其对被执行财产的第一权利，并将该财产进行变卖以支付工人工资，这种情况下并不必然导致申请人承担法律责任。通常情况下，申请人的行为是出于合理的目的，如支付工人工资，这并不违反法律规定或道德准则。然而，在某些特殊情况下，比如涉及非法获取财产的行为时，申请人可能面临法律责任。具体到您的案例中，您需要根据具体情况来判断是否存在违法行为以及如何承担责任。如果您有具体的案件细节和相关证据，建议寻求专业的法律意见，以便更准确地分析和解决问题。