您好，根据《劳动民法典》规定，用人单位应当在劳动合同期满前30日以书面形式通知劳动者本人，终止或者解除劳动合同。如果您的劳动合同到期后，单位未及时与您续签，则属于违法解除劳动合同的情形。您可以向当地人力资源和社会保障局投诉或提起诉讼要求继续履行劳动合同。 至于新单位是否需要您的离职申请，这取决于该单位的规章制度和法律规定。如果您认为自己的权益受到侵害，可以向新单位提出离职申请，并保留相关证据。 请注意，在处理此类事务时，应确保行为符合法律法规的规定，并尊重各方合法权益。希望我的解答能够帮助到您。