首先，根据《中华人民共和国劳动民法典》第十四条的规定，“用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同”。因此，如果该工人在第三天工作时受伤，并且没有签订劳动合同，则可以推定其与公司之间存在无固定期限劳动合同。 其次，根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第九条的规定，“雇员在从事雇佣活动中遭受人身损害，雇主应当承担赔偿责任；雇员因故意或者重大过失造成他人损害的，应当承担相应的责任。”因此，在这种情况下，即使工人的手指是意外伤害，也应由雇主承担赔偿责任。 最后，如果工伤保险已经购买，那么雇主应按照法律规定支付医疗费用和一次性伤残补助金等费用。同时，如果工人的损失是由公司的疏忽或违法行为导致的，还可以要求公司承担相应的民事责任。但需要注意的是，具体赔偿金额需要依据相关法律法规和证据来确定。