在您描述的事件中，确实存在工作时间和工作场所内发生的医疗事故。根据我国相关法律规定，如果您的工作时间是在法定工作时间内，在工作地点或工作中发生疾病并最终导致死亡的情况，您可以向相关部门申请工伤认定。 具体来说，根据《工伤保险条例》的规定，员工因工受伤后，应当及时就医，并且应当在事故发生之日起一年内提出工伤认定申请。如果您在10月3日发病并在10月4日未上班的情况下被送往医院治疗，那么在此期间发生的医疗费用应当由您自己承担，因为这是您的个人责任。然而，如果在10月5日晚上或者第二天早上被送入医院接受治疗，则属于工伤范畴。 至于是否能够申请工伤，这需要您提供相应的证据来证明是工伤，比如医院的诊断书、医疗费单据等。此外，还需要证明是由于工作原因导致的伤害。如果您能提供足够的证据证明这些条件，那么就可以申请工伤待遇了。 请注意，具体的法律程序和要求可能会因地区而异，因此建议您联系当地的劳动保障部门或法律专业人士进行详细咨询。