在劳动争议仲裁过程中，当事人可以要求单位承担一定的费用。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议仲裁不收取费用。但是，如果当事人聘请了律师，律师费用通常需要由当事人自己承担。此外，如果仲裁过程中产生了其他费用，如鉴定费、翻译费等，当事人可以依据仲裁委员会的裁决或双方的协议要求单位承担。在实际操作中，如果单位败诉，仲裁委员会可能会裁决单位承担相应的费用。因此，当事人在申请仲裁时，可以明确提出要求单位承担相关费用的请求。