首先，根据《中华人民共和国劳动法》第十七条的规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。因此，在您与该员工之间未签订书面劳动合同的情况下，双方并未形成正式的劳动关系，也没有相应的权利义务条款。 其次，关于您的辞退决定，尽管您认为她的行为违反了公司的规章制度，并且存在旷工和私自兼职的情况，但是您并没有提供足够的证据证明这些行为已经影响到了公司的工作秩序或正常运营。因此，即使在某些情况下，辞退员工可能会被认定为违法解除劳动关系，但这并不意味着您必须支付赔偿金。 最后，关于是否应该补交11个月的工资，这取决于实际情况和法律规定。如果您确实是因为上述原因而解雇员工，那么按照《中华人民共和国劳动法》的相关规定，您可能需要承担一定的经济补偿责任。然而，如果员工的行为不是导致解雇的主要因素，或者您提供了充足的证据证明其不存在过错，则无需承担责任。 总的来说，建议您仔细评估您辞退员工的原因，并考虑是否需要支付赔偿金。同时，对于涉及法律法规的问题，请及时咨询专业的法律顾问。