根据《中华人民共和国食品安全法》第一百二十三条的规定，生产不符合食品安全标准的食品或者经营明知是不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者经营者要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。所以，如果发现白酒中含有非法添加的甜味剂（如甜蜜素），则可以要求商家承担十倍或三倍的赔偿责任，并可能需要支付更高的赔偿金额。同时，如果该违法行为导致消费者健康损害，则还应承担相应的法律责任，包括民事责任和刑事责任。建议您在购买时注意查看产品标签是否标注有合法来源和安全认证信息，以保障自身的合法权益。