根据《中华人民共和国劳动法》的规定，劳动者享有合法的休息权利。如果您的同事在8月13日至15日期间未上班，那么按照法律规定，该公司应当支付相应的工资待遇。然而，在这种情况下，由于您提到的员工并没有与公司签订劳动合同，因此，公司在做出自动离职处理决定时，可能并未考虑员工是否符合劳动法律法规中关于连续工作时间的要求。 在这种情况下，公司可能会依据其内部规定或政策来确定是否需要向该员工支付额外的补偿，比如加班费或其他相关费用。此外，即使公司做出了自动离职处理，也建议您联系专业的法律人士进行详细咨询，以确保公司的行为符合法律规定，并为可能发生的争议提供必要的支持。