在性格不和导致离婚的情况下，孩子的抚养权和财产分割是两个主要的法律问题。 首先，关于孩子的抚养权，根据《中华人民共和国婚姻法》的规定，离婚时，双方应协商确定孩子的抚养问题。如果协商不成，可以由法院根据孩子的年龄、双方的抚养能力和条件等因素判决。由于孩子只有四个月大，通常法院会考虑到孩子的成长需要，倾向于将抚养权判给母亲，除非母亲有不适合抚养孩子的情况。 其次，关于婚后购买的房产，虽然只有购房合同且只支付了50万首付，但房产属于夫妻共同财产。离婚时，双方应协商分割房产。如果协商不成，法院会根据双方对房产的贡献、经济状况等因素进行判决。通常，法院可能会判决房产归一方所有，并由该方支付给另一方相应的经济补偿。 在处理这些问题时，建议双方尽量通过协商解决，以减少纠纷和法律成本。如果协商不成，可以寻求法律援助或聘请律师，通过法律途径解决。同时，考虑到孩子的年龄和成长需要，建议在处理抚养权问题时，优先考虑孩子的利益。