在讨论这个问题之前，请确保您已经了解以下几点。 该教师是否是幼儿园的正式员工。 教师是否在学校期间从事了其他兼职工作或活动。 首先，对于家庭教师（如您所指的“家属”），他们通常是指非正式的私人教育者。然而，在某些情况下，他们可能会被学校视为教师。在这种情况下，如果该教师是以个人身份进行教学活动，并且没有获得学校的正式许可，则可能被认为是非法的有偿家教。 此外，根据不同的国家和地区和教育体系的规定，大学在校生在假期参与课外辅导等商业性活动也可能是合法的。因此，判断是否为有偿家教，需要考虑具体的法律规定和当地教育机构的政策。 关于幼儿园是否有权开除这位老师的问题，这取决于幼儿园的具体规定以及当地法律法规。一般来说，如果教师违反了学校的规章制度或者存在不道德的行为，幼儿园有权采取措施处理。然而，如果教师只是在业余时间开展教学活动，并且遵守了所有必要的程序，那么幼儿园一般不会主动解除其合同。 总之，对于任何涉及教育领域的争议，最好寻求专业的法律顾问的帮助来获取准确的信息和建议。