根据您提供的情况，如果公交车司机在正常行驶过程中因紧急情况需要刹车，导致乘客摔倒受伤，司机和公交公司通常不需要承担赔偿责任，除非司机的行为存在重大过失或故意。如果司机在紧急情况下采取了合理的措施，比如及时刹车以避免更严重的事故，那么司机和公司通常不承担赔偿责任。 然而，如果司机的行为存在过失，比如刹车过于突然或在非紧急情况下刹车，导致乘客摔倒受伤，那么司机和公交公司可能需要承担相应的赔偿责任。此外，公交公司作为运营方，有责任确保乘客的安全，如果因为车辆维护不当或司机操作不当导致乘客受伤，公司也需要承担相应的责任。 在处理此类事件时，建议公交公司首先调查事故原因，了解司机的行为是否存在过失，同时收集证据，如监控录像、目击者证言等，以确定责任归属。如果乘客提出赔偿要求，公司应根据事故责任和相关法律法规，合理评估赔偿金额，并与乘客进行协商解决。如果协商不成，可以通过法律途径解决争议。