根据《中华人民共和国劳动法》的规定，用人单位应当与劳动者签订书面劳动合同。如果公司在与你签订的第二次劳动合同中未明确记载公司的全称和法定代表人信息，则可能不符合法律规定。在这种情况下，建议您考虑是否需要重新签订一份正式的劳动合同，并确保其中包含了完整的公司信息和法定代表人的姓名等关键要素。如果您对这份合同有任何疑问或不满，可以向当地的劳动监察部门进行投诉或者寻求法律帮助。同时，在签订任何重要文件之前，应仔细阅读并理解所有条款，以避免在后续过程中产生争议。